найти наибольшее и наименьшее значение функции z=x2+y2-12x+16, x2+y2≤25 - вопрос №5495879

Постановка задачи: Найти максимум и минимум функции z = x^2 + y^2 — 12x + 16 при ограничении x^2 + y^2 ≤ 25. Решение: 1. Нахождение критических точек: Градиент функции z равен: ∇z = (2x — 12, 2y) Критические точки находятся в точках, где градиент равен нулю: 2x — 12 = 0 2y = 0 Решая эту систему уравнений, получаем критическую точку (6, 0). 2. Проверка границы: Ограничение x^2 + y^2 ≤ 25 представляет собой круг с центром в начале координат и радиусом 5. Нам нужно проверить значения функции z на границе круга. На границе x^2 + y^2 = 25, функция z принимает вид: z = x^2 + y^2 — 12x + 16 = 25 — 12x + 16 = 9 — 12x 3. Сравнение значений: Сравниваем значения функции z в критической точке и на границе круга: В критической точке `(6, 0)`: `z = 6^2 + 0^2 — 12(6) + 16 = -16` На границе круга: z = 9 — 12x достигает максимального значения при x = -1: z = 9 — 12(-1) = 21 и минимального значения при x = 1: z = 9 — 12(1) = -3 Вывод: Максимальное значение: `z = 21` достигается на границе круга при `x = -1` и `y = 2√6`. Минимальное значение: z = -16 достигается в критической точке (6, 0).