Найти первые пять отличных от нуля членов развития в ряд развития в ряд решения дифференциального уравнения с начальными условиями. y'+y=x*y^2 ; y(0)=1 - вопрос №5494479

Решим данное дифференциальное уравнение методом Фробениуса. 1. Представление решения: Предположим, что решение уравнения можно представить в виде степенного ряда: y(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 +… 2. Вычисление производных: Найдем производную y(x): y'(x) = a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 +… 3. Подстановка в уравнение: Подставим полученные выражения в исходное дифференциальное уравнение: (a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + ...) + (a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + ...) = x (a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + ...)^2 4. Приравнивание коэффициентов: Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x с обеих сторон уравнения. * x^0: `a_1 + a_0 = 0` * x^1: `2a_2 + a_1 = a_0^2` * x^2: `3a_3 + a_2 = 2a_0 a_1` * x^3: `4a_4 + a_3 = 2a_0 a_2 + a_1^2` *… 5. Начальные условия: Используем начальное условие y(0) = 1. Это значит, что `a_0 = 1`. 6. Решение системы: Теперь решим систему уравнений для определения коэффициентов `a_i`. * `a_1 = -a_0 = -1` * `a_2 = (a_0^2 — a_1) / 2 = (1 + 1) / 2 = 1` * `a_3 = (2a_0 a_1 — a_2) / 3 = (-2 — 1) / 3 = -1` * `a_4 = (2a_0 a_2 + a_1^2 — a_3) / 4 = (2 + 1 + 1) / 4 = 1` 7. Ряд решения: Подставляем найденные коэффициенты в степенной ряд: y(x) = 1 — x + x^2 — x^3 + x^4 +… Ответ: Первые пять отличных от нуля членов ряда решения дифференциального уравнения с начальным условием y(0) = 1: 1, -1, 1, -1, 1