Треугольник MNP вписан в окружность радиуса sqrt(111)/3. Найдите MP, если MN=4, NP=3. (см. рис. внутри)
a/sin N = b/sin P = c/sin M = 2R
4/sin P = 2 корень(111)/3
sin P = 6/ корень(111)
3/sin M = 2 корень(111)/3
sin M=9/ ( 2 корень(111) )
sin N = sin (180 — (P + M)) = sin (P+M) = sin P cos M + sin M cos P
cos P = +(-)корень(1- 36/111)= +(-)корень(75/111) = +(-)корень(25/37) =
= +(-)5/ корень(37)
cos M = +(-)корень(1- 81/444) = +(-)корень(363/444) = +(-)корень(121/148)=
= +(-)11/корень(148)
1) N — тупой, тогда оставшиеся острые, их sin и cos положительны
sin N = sin P cos M + sin M cos P = 6/ корень(111) * 11/корень(148) +
+ 9/ ( 2 корень(111) ) * 5/ корень(37) =
= 6/ корень(111) * 11/(2корень(37) +
+ 9/ ( 2 корень(111) ) * 5/ корень(37) =111/(2 корень(111) * корень(37) ) =
= 1/2 * корень(111/37) = 1/(2корень(3))
при таком значении N = 17 градусов, т.е. это не тупой, а острый угол.
Данное решение подходит, когда все углы острые.
a=2R sin N= 2 корень(111)/(3*2 корень (3)) = 1/(3 корень(37))
2) M — тупой, остальные острые
тогда cos M меньше 0, sin M больше 0, остальные sin и cos положительны
sin N = sin P cos M + sin M cos P = 6/ корень(111) * (-11)/корень(148) +
+ 9/ ( 2 корень(111) ) * 5/ корень(37) = -21/(2 корень(111) * корень(37) )
sin N должен быть положителен, т.к. N — острый
3) P — тупой
тогда sin P больше нуля, cos P — меньше 0, а для всех остальных углом sin и cos положительные
+ 9/ ( 2 корень(111) ) * (-5)/ корень(37) = 21/(2 корень(111) * корень(37) ) = 21/(2*37*корень(3))
тогда a=2R sin N= 2* корень(111)*21/ (3*2*37*корень(3))= 7/корень(37)
Не знаю, насколько все правильно, в этом редакторе сложно все просматривать, но получилось два решения